cleanUrl: "peptide-bond-geometry"
description: "Peptide bond를 이루는 원자들의 이상적인 결합 길이와 결합 각을 정리합니다."

• AlphaFold를 비롯한 단백질 구조 예측 모델 구현에서 개별 아미노산 residue들은 강체(rigid body)로 가정하며, 3차원 공간 상에서의 rotation (R) 과 translation (t)으로 표현되는 Euclidean transformation을 예측함으로써 아미노산의 위치와 배향을 정하게 된다.

• 그러면 각 아미노산의 원자 사이의 결합 길이와 각도는 상수로 취급한다는 건데, 어떤 값으로 정하면 될까? → 밝혀진 Peptide bond의 ideal (typical) geometry를 사용한다!

• 우선 여러 자료를 살펴보자.

출처

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• 위의 결과들을 취합해서 Ca, C, Cb, N 사이의 결합 길이와 결합각을 표로 정리해볼 수 있겠다.

결합각

결합길이

코드 예시

• IgFold 에서는 residue 강체의 initialization을 다음과 같이 구현하고 있다. https://github.com/Graylab/IgFold/blob/main/igfold/utils/coordinates.py

def get_ideal_coords(center=False):
    N = torch.tensor([[0, 0, -1.458]], dtype=float)
    A = torch.tensor([[0, 0, 0]], dtype=float)
    B = torch.tensor([[0, 1.426, 0.531]], dtype=float)
    C = place_fourth_atom(
        B,
        A,
        N,
        torch.tensor(2.460),   # length
        torch.tensor(0.615),   # planar
        torch.tensor(-2.143),  # dihedral
    )  # this produces tensor([[-1.1932, -0.7685, 0.551]])

    coords = torch.cat([N, A, C, B]).float()

    if center:
        coords -= coords.mean(
            dim=0,
            keepdim=True,
        )

    return coords

def place_fourth_atom(
    a_coord: torch.Tensor,
    b_coord: torch.Tensor,
    c_coord: torch.Tensor,
    length: torch.Tensor,
    planar: torch.Tensor,
    dihedral: torch.Tensor,
) -> torch.Tensor:
    """
    Given 3 coords + a length + a planar angle + a dihedral angle, compute a fourth coord
    """
    bc_vec = b_coord - c_coord
    bc_vec = bc_vec / bc_vec.norm(dim=-1, keepdim=True)

    n_vec = (b_coord - a_coord).expand(bc_vec.shape).cross(bc_vec)
    n_vec = n_vec / n_vec.norm(dim=-1, keepdim=True)

    m_vec = [bc_vec, n_vec.cross(bc_vec), n_vec]
    d_vec = [
        length * torch.cos(planar),
        length * torch.sin(planar) * torch.cos(dihedral),
        -length * torch.sin(planar) * torch.sin(dihedral)
    ]

    d_coord = c_coord + sum([m * d for m, d in zip(m_vec, d_vec)])

    return d_coord

• 우선 N, Ca, Cb 사이의 길이를 재 보면, N-Ca는 1.458, Ca-Cb 사이는 1.52165601 정도로 나타난다. Ca-Cb의 bond length는 자료에는 나와있지는 않지만, 직접 단백질 구조 데이터 받아서 확인해 봐도 1.52~1.53 근처로 나타난다.
• 참고로 C-N 사이의 거리는 2.447로 나타나는데, 제2코사인법칙을 써서 이론적인 결합각/결합길이로부터 C-N 거리 구해보면 아래와 같다. 대략적으로 2.44 정도로 같다.

$$ d_{CN}=\sqrt{d_{NC_a}^2+d_{C_aC}^2-2*d_{NC_a}*d_{C_aC}*cos(\theta_{NC_aC})} = 2.439 $$

• 그러면 이제 place_fourth_atom을 이해해보자. Ca, Cb, N의 위치가 주어졌을 때 C의 위치를 특정하는 함수일 텐데, 어떻게 계산해내는지 보자. 구하고자 하는 점을 X라고 할 때, 파라미터를 설명하면

  • a_coord, b_coord, c_coord 가 주어진다.
  • length는 c_coord에서 새로 계산할 원자의 위치 까지의 거리이다.
  • planar는 XCB의 각도
  • dihedral은 XCB가 이루는 평면과, ACB가 이루는 평면의 이면각

• 그림으로 표현하면 아래와 같다.

  

• 결국 위 그림에서 벡터 CX만 잘 구하면 되는 것이다! 열심히 배웠던 기하와 벡터를 잘 떠올려보자…

• 먼저 X에서 평면 ABC에 내린 수선의 발을 H라 하면 평면 ABC의 법선벡터 HX는 벡터 CB와 AB의 외적이다. 위 함수에서는 단위벡터로 normalize 해주고 있다. 외적 할때는 순서에 주의해야 함을 잊지 말자. 오른손 법칙으로 방향이 정해지니까.

  

  • 참고로 IgFold 구현에서는 AB x CB 한 다음 벡터에 (-1)을 곱해서 방향을 뒤집어 준다.

• 그 다음, H에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 H’라 하면 벡터 H’H는 벡터 CB와 벡터 HX (v_n)의 외적이다.

  

  • 참고로 IgFold 구현에서는 v_n이 이미 방향이 반대이므로, 벡터 HX와 벡터 CB의 외적을 해준다.